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FRM考试中,Black-Scholes期权定价模型公式有什么?

发布时间:2020-09-15 08:44来源: 融跃FRM官网

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FRM考试中,Black-Scholes期权定价模型公式有什么?

FRM一级考试中,Black-Scholes期权定价模型是较为重要的考点,考生在备考中一定要熟练掌握。在计算题中,BS定价公式是需要熟记的。>>>点击领取2020FRM备考资料大礼包(戳我免费领取)

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期权定价模型由布莱克与斯科尔斯在20世纪70年代提出(Black-Scholes-Merton Option Pricing Model)。该模型认为,只有股价的当前值与未来的预测有关,变量过去的历史与演变方式与未来的预测不相关。【资料下载】点击下载融跃教育FRM考试公示表

期权定价模型基于对冲证券组合的思想。投资者可建立期权与其标的股票的组合来保证确定报酬。在均衡时,此确定报酬必须得到无风险利率。期权的这一定价思想与无套利定价的思想是一致的。

B-S-M定价公式

C=S·N(d1)-X·exp(-r·T)·N(d2)

其中:

d1=[ln(S/X)+(r+σ^2/2)T]/(σ√T)

d2=d1-σ·√T

C—期权初始合理价格

X—期权执行价格

S—所交易金融资产现价

T—期权有效期

r—连续复利计无风险利率

σ—股票连续复利(对数)回报率的年度波动率(标准差)

N(d1),N(d2)—正态分布变量的累积概率分布函数,在此应当说明两点:

第一,该模型中无风险利率必须是连续复利形式。一个简单的或不连续的无风险利率(设为r0)一般是一年计息一次,而r要求为连续复利利率。r0必须转化为r方能代入上式计算。两者换算关系为:r=LN(1+r0)或r0=exp(r)-1例如r0=0.06,则r=LN(1+0.06)=0.0583,即100以583%的连续复利投资第二年将获106,该结果与直接用r0=0.06计算的答案一致。

第二,期权有效期T的相对数表示,即期权有效天数与一年365天的比值。如果期权有效期为100天,则T=100/365=0.274。

B-S-M模型的推导

B-S-M模型的推导

B-S-M模型的推导是由看涨期权入手的,对于一项看涨期权,其到期的期值是:

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E[G]=E[max(ST-L,O)]

其中,

E[G]—看涨期权到期期望值

ST—到期所交易金融资产的市场价值

L—期权交割(实施)价

到期有两种可能情况:

1、如果ST>L,则期权实施以进帐(In-the-money)生效,且mAx(ST-L,O)=ST-L

2、如果ST<L,则期权所有人放弃购买权力,期权以出帐(Out-of-the-money)失效,且有:

max(ST-L,O)=0

从而:

E[CT]=P×(E[ST|ST>L)-L)+(1-P)×O=P×(E[ST|ST>L]-L)

其中:P—(ST>L)的概率E[ST|ST>L]—既定(ST>L)下ST的期望值将E[G]按有效期无风险连续复利rT贴现,得期权初始合理价格:

C=P×E-rT×(E[ST|ST>L]-L)(*)这样期权定价转化为确定P和E[ST|ST>L]。

首先,对收益进行定义。与利率一致,收益为金融资产期权交割日市场价格(ST)与现价(S)比值的对数值,即收益=1NSTS。由假设1收益服从对数正态分布,即1NSTS~N(μT,σT2),所以E[1N(STS]=μT,STS~EN(μT,σT2)可以证明,相对价格期望值大于EμT,为:E[STS]=EμT+σT22=EμT+σ2T2=EγT从而,μT=T(γ-σ22),且有σT=σT

其次,求(ST>L)的概率P,也即求收益大于(LS)的概率。已知正态分布有性质:Pr06[ζ>χ]=1-N(χ-μσ)其中:ζ—正态分布随机变量χ—关键值μ—ζ的期望值σ—ζ的标准差。所以:P=Pr06[ST>1]=Pr06[1NSTS]>1NLS]=1N-1NLS2)TTNC4由对称性:1-N(D)=N(-D)P=N1NSL+(γ-σ22)TσTArS第三,求既定ST>L下ST的期望值。因为E[ST|ST]>L]处于正态分布的L到∞范围,所以,E[ST|ST]>=S·EγT·N(D1)N(D2)

其中:D1=LNSL+(γ+σ22)TσTD2=LNSL+(γ-σ22)TσT=D1-σT

最后,将P、E[ST|ST]>L]代入(*)式整理得B-S定价模型:C=S·N(D1)-L·E-γT·N(D2)

关键词 : FRM考试
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